Matematika & IAD BAB 12

BAB 12

Relasi

7.1. Pengantar Mengenai Relasi

Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan dengan Relasi.

Misalkan M = { Ami, Budi, Candra, Dita} dan N = { 1,2,3}. Misalkan Ami berusia 1 tahun, Budi berusia 3 tahun , Candra berusia 2 tahun dan Dita berusia 1 tahun, maka kita dapat menuliskan sebuah himpunan P = { (Ami,1), (Budi,3), (Candra,2), (Dita,1)} dimana P merupakan himpunan pasangan terurut yang menggambarkan hubungan antara himpunan M dan himounan N. 

Himpunan P merupakan relasi antara himpunan M dan himpunan N dan dapat ditulis sebagai:

P = { (x,y)  I x berusia y, dimana , dimana X  M dan Y  N }

7.2. Produk Cartesius dan Relasi

Misalkan A dan B adalah sembarang himpunan yang tidak kosong. Perkalian Cartesian A × B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dimana x  A dan y   B.

A × B = { (x,y) | untuk setiap x  A dan y  B } 

Contoh 

Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D = { x, y }.

C × D = { (2,x) , (2,y) , (3,x) , (3,y) , (4,x) , (4,y) }

D × C = { (x,2) , (y,2) , (x,3) , (y,3) , (x,4) , (y,4) }

Banyaknya anggota himpunan hasil perkalian cartesian A×B sama dengan hasil kali antara banyaknya anggota A dengan banyaknya anggota B .

n(A × B ) = n (A ) × n(B ) .

Pada umumnya, A × B  ≠ B × A . Akan tetapi n(A × B ) = n (B × A ).

Contoh 3

1. Dari contoh 2 diketahui n(C ) = 3 dan n(D) = 2.

Dengan demikian n(C × D )         = 3 × 2 = 6.

2. Dari contoh 1 n(M × N )         = n(N × M ) = 12.

Sebuah relasi R yang memasangkan anggota himpunan A kepada anggota himpunan B, ditulis R : A → B merupakan sebuah himpunan bagian dari perkalian cartesian A × B, ditulis R  A×B.

 A × A.Í A, maka R ®Jika sebuah relasi R didefinisikan pada himpunan A, ditulis R :A

Contoh 4

1. Misalkan C = {2, 3, 4} dan D = {x, y}.

C × D              = {(2,x), (2,y), (3,x), (3,y), (4,x), (4,y)}

 D didefinisikan sebagai®Sebuah relasi R1: C

R1                   = {(2,y) , (3,x) , (4,x), (4,y)}.

 C × D.ÍJelas bahwa R1

G didefinisikan pada himpunan G = {5, 7, 11} sebagai R2 = {(x,y) |x®2. Relasi R2 : G  < G}.Îy, dimana x, y

 G × G.ÍRelasi tersebut dapat dinyatakan sebagai R2 = {(5,7),(5,11), (7,11)} dan jelas bahwa R2

7.3. Penyajian Matriks Relasi dan Diagram Panah

Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu :

1.                  Diagaram panah

      

2.                  Himpunan pasangan berurutan

  

3.                   Diagram Cartesius

4.                  Tabel

Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal (domain), sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil (range). Relasi yang telah dijelaskan pada bagian (a) .

5.                  Matriks

 Misalkan R merupakan relasi yang menghubungkan himpunan A = {a₁, a₂, ..., a_m}, dan himpunan B = {b₁, b₂, ... b_m}. Maka relasi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. 

Unsur-unsur m_ij pada matriks tersebut bernilai nol atau satu, tergantung apakah unsur a₁ pada himpunan A rnernpunyai relasi dengan unsur b₁ pada himpunan B.

  Graphic  Berarah

Berbeda dengan ketiga cara di atas, graf tidak digunakan untuk menyajikan relasi dari sebuah himpunan ke himpunan lain, tetapi graf digunakan untuk menyajikan relasi pada sebuah himpunan saja.

Contoh :

Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)}

adalah sebuah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. Relasi ini dapat disajikan dengan graf berarah berikut:

7.4. Relasi Invers

Setiap relasi R dari himpunan A kepada himpunan B memiliki invers yang dinamakan R-1 dari himpunan B kepada himpunan A, yang ditulis sebagai

 R }Î ( x , y ) |R-1 = { ( y , x )

Dengan kata lain, relasi invers R-1 dari R mengandung pasangan-pasangan terurut yang bila dibalikkan akan terkandung dalam relasi R .

Contoh 

Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {a, b} dan relasi R = {(1,a),(2,a),(2,b) ,(3,a)} merupakan relasi dari A pada B. Invers dari relasi R adalah relasi

R-1              = { (a,1) , (a,2) , (b,2) , (a,3) }.

Contoh 

Misalkan W = {a, b, c}, relasi R = {(a,b) , (a,c) , (c,c) , (c,b)} merupakan relasi pada W. Invers dari relasi R adalah relasi

R-1               = { (b,a) , (c,a) , (c,c) , (b,c) }.

7.5. Komposisi Relasi

S, atau dapat dinyatakan sebagai:Î R dan (b,c) ÎMisalkan R relasi dari himpunan A ke himpunan B dan S relasi dari himpunan B ke himpunan C. Didefinisikan relasi baru dari himpunan A ke himpunan C, ditulis R S yang beranggotakan semua pasangan terurut (a,c) yang memenuhi (a,b)

 S}Î R dan (b,c) Î B yang memenuhi (a,b) ÎR S = {(a,c)| b

Misalkan A = {x,y,z}, B = {a,b,c,d}, C = {1,2,3,4,5}. R relasi dari A ke B dan S relasi dari B ke C.

Misalkan R = {(x,a),(x,b),(y,b),(y,c),(y,d),(z,d)} dan

S                 = {(a,1),(a,3),(b,2),(b,3),(b,5),(d,3),(d,4)}maka

R S             ={(x,1),(x,2),(x,3),(x,5),(y,2),(y,3),(y,5),(y,4),(z,3),(z,4)}.

7.6. Sifat Relasi

R.Î A berlaku (a,a) ÎMisalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap a

Contoh 

Diketahui A = {1, 2, 3}. Pada A didefinisikan relasi R1 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3) , (3,3) , (3,2)}. Relasi R1 tersebut bersifat refleksif.

Contoh 

 B}. Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat refleksÎ x kelipatan y, x, y |Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R2 = {(x,y)

 R.Î R berlaku (b,a) ÎRelasi R bersifat simetris jika untuk setiap (a,b)

Contoh

Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R4 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}. Relasi R4 tersebut bersifat simetris.

Contoh 13

 R5.Ï R5 tetapi (2,4) Î B } = {(2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2)}. Relasi R5 tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) Î x kelipatan y , x, y |Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R5            = { (x,y)  

R.ÎR berlaku (a,c)ÎR dan (b,c)ÎRelasi R bersifat transitif, jika untuk setiap (a,b)

Contoh

Diketahui A                               = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R6 = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)}

Relasi R6 tersebut bersifat transitif.

Contoh 

 R7, tetÎ R7 dan (2,3) ÎRelasi R = {(1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2)} yang didefinisikan pada himpunan A     = {1, 2, 3 } tidak bersifat transitif, karena terdapat (1,2)  R7.Ïapi (1,3)

 R berlaku a = b.Î R dan (b,a) ÎRelasi R dikatakan bersifat antisimetris jika untuk setiap (a,b)

Contoh 

Î x kelipatan y , x,y |Pada himpunan

                                  B     = { 2, 4, 5 } didefinisikan relasi R8 = { (x,y)

Dengan demikian R8 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}. Relasi R8 tersebut bersifat antisimetris.

Contoh 

Diketahui                            A   = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R9 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }

 2.¹ R9, tetapi 1 ÎR9 dan (2,1) ÎRelasi R9 tersebut tidak bersifat antisimetris karena terdapat (1,2)

RELASI EKIVALEN

Relasi R disebut sebagai sebuah relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif.

Contoh

Diketahui                            A   = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R1 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }

arena itu relasi R1 merupakan relasi ekivalen.

Contoh

Maka       R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }.Î x kelipatan y , x, y |

Diketahui B  = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y)

Relasi R2 tersebut tidak bersifat simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekuivalen.

7.7. Partisi

Relasi Pengurutan Sebagian (PARTIAL ORDERING).

Relasi R disebut sebagai sebuah relasi pengurutan sebagian (partial ordering), jika relasi tersebut bersifat refleksif, transitif dan antisimetris.

Contoh

Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi

R3             = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }. Relasi R3 tersebut bersifat refleksif dan transitif, tetapi tidak bersifat antisimetris. Oleh karena itu relasi tersebut bukan merupakan relasi pengurutan sebagian.

Contoh

maka R4      = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }.Î x kelipatan y , x,y |

Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R4 = { (x,y)

Relasi R4 tersebut bersifat refleksif, antisimetris dan transitif. Oleh karena itu relasi tersebut merupakan relasi pengurutan sebagian.

Daftar Pustaka:

Angga Faizul (2012)  Relasi  http://studio-ilmu.blogspot.com/ 2012/09,

Pardede, C. 2003. Lecture Notes Logika Matematika.Universitas Gunadarma. Depok.

Suryadi, H.S. 1991. Aljabar, Logika dan Himpunan, seri diktat kuliah Gunadarma. Depok.

http://aenifarida.wordpress.com diakses Jumat 9 Mei 2014  pukul 17.00.