Matematika & IAD BAB 10

BAB 10

HIMPUNAN DAN BILANGAN

6.1 PENGERTIAN, PENULISAN, DAN MACAM HIMPUNAN

Matematika teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

6.1.1 Notasi Himpunan

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z).

6.1.2 Relasi Antar Himpunan Himpunan Bagian

Dari suatu himpunan, misalnya A = {Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

-{Kucing,Anjing}

-{Anjing, Monyet}

-{Kucing, Kelinci, Monyet}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dari A.

6.1.3 Super Himpunan

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

6.1.4 Kesamaan Dua Himpunan

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A. Atau Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa Badalah subhimpunan A.

6.1.5 Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A.

6.2 DIAGRAM VENN

Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika, diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn untuk menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik di bidang logika, probabilitas, statistik, linguistik dan ilmu komputer.

6.3 OPERASI ANTARA HIMPUNAN

6.3.1 Pengertian Himpunan

Secara sederhana, himpunan artinya kumpulanbenda (objek). Sedangkan dalam dunia matematika himpunan didefiniskan sebagai suatu kumpulan benda (objek) tertentu dengan batasan yang jelas.

misalnya:
1) A adalah nama bulan yang dimulai dengan huruf J, A = {Januari, Juni, Juli}.
2) B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 7, maka B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

6.3.2 Menyajikan Himpunan Dalam Bentuk Pendaftaran (Tabulasi) Dan Perincian

Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar A, B, C, X, A1, A2, dsb. Anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil a, b, c, x, x1, y, y1,
Himpunan  dapat disajikan dengan cara:

1.      Mendaftar anggota-anggotanya di dalam tanda kurung kurawal. Contoh:

·      N adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari lima disajikan dengan
N = {1, 2, 3, 4}.

·      P adalah himpunan konsonan yang membentuk kata “Jaringan” disajikan dengan
P = {j, r, g, n}.

2.      Menyajikan sifat-sifat anggotanya. Contoh:

·      A = {bilangan asli}

·      C = {bilangan cacah}

·      D = {bilangan bulat negatif}

·      E = {bilangan cacah yang kurang dari lima}.

3.      Menggunakan notasi pembentuk himpunan. Dengan cara ini himpunan disajikan dalam bentuk {x | x bersifat R}, dibaca himpunan x di mana x bersifat R. Contoh:

·      Himpunan A di atas disajikan dengan A = {x | x adalah bilangan asli}.

·      Himpunan E di atas disajikan dengan E = {x | x adalah bilangan cacah dan x < 5}.

·      Banyak anggota dari himpunan A dinotasikan dengan n(A). Contoh: n({1, 2, 3, 4}) = 4, n{} = 0, n({bilangan asli}) = tak terhingga.

6.3.3 Macam-Macam Himpunan Berdasarkan Jumlah Anggotanya Atau Hubungan

A. Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.  Dinyatakan dengan simbol : A ⊂ B  Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4}.

B. Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali. Contoh : A = {x Î R |x2 + 4 = 0 }.

C. Himpunan Semesta

Contoh : Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah: U = himpunan bilangan cacah.

6.3.4 Menggambarkan Hubungan Antara Himpunan Dengan Diagram Venn

Kalian telah mempelajari cara membaca diagram Venn. Sekarang, kita akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunan ke dalam diagram Venn. Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2, 3, 5, 7}. Himpunan P Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yang menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q,

6.3.5 Operasi-Operasi Antar Himpunan

Dalam teori himpunan ada aturan atau hukum yang menghubungkan himpunan yang satu dengan yang lain. Ada tiga operasi himpunan, yaitu : operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi selisih.

A. Operasi Gabungan (Union)

Operasi Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota keduanya, didefinisikan sebagai berikut : A È B = { x | x Î A V x Î B }. Contoh :

Jika A = { 2,4,6,8,10 } dan B = { 1,3,5,7,9 } ,maka A È B = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }.

B. Operasi Irisan (Intersection)

Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A ÇB, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B, dapat didefinisikan sebagai berikut : A ∩ B = {x| x ϵ A ʌ x ϵ B } (Tanda ʌ artinya dan).

C. Operasi Selisih

Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B. Jadi A – B berbeda dengan B – A. Perhatikan Gb. 1.4, daerah yang diarsir merupakan selisih A dan B. Dapat didefinisikan sebagai berikut :

A – B = { x | x Î A ʌ x Ï B }.

6.4 HIMPUNAN BILANGAN DAN SKEMANYA

6.4.1 Himpunan Bilangan Asli

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif. N = {1,2,3,4,5,6,......}.

6.4.2 Himpunan Bilangan Prima

Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1. P = {2,3,5,7,11,13,....}.

6.4.3 Himpunan Bilangan Cacah

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol. C = {0,1,2,3,4,5,6,....}.

6.4.4 Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif. B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}.

6.4.5 Himpunan Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang. Contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain.

6.5 BILANGAN BULAT DAN RIIL

6.5.1 Himpunan Bilangan, Sifat-Sifat Bilangan Dan Anggota HIMPUNAN

Suatu himpunan didefinisikan sebagai koleksi objek-objek berbeda yang terdefinisi dengan baik. Anggota suatu himpunan disebut elemen atau titik. Kata berbeda dimaksud bahwa elemen yang sama hanya ditulis satu kali, sedang yang dimaksud dengan terdefinisi dengan baik artinya kita dapat membedakan mana yang objek yang menjadi anggota himpunan dan mana objek yang bukan anggota. Dengan demikian jika diambil satu objek, kita dapat mengatakan objek itu anggota himpunan atau tidak.

6.5.2 Membedakan Bilangan Bulat Dan Riil Bilangan Bulat

Contoh:
2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat. 2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negatif
2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif.

Daftar Pustaka:

http://kimerikrahadianz.blogspot.co.id/2014/07/pengertian-penulisan-dan-macam-himpunan.html

https://id.wikipedia.org/wiki/Diagram_Venn

http://rumus-ilmiah.blogspot.co.id/2014/02/pengertian-dan-contoh-bilangan-real.html

https://www.scribd.com/document/317200689/Matematika-Dan-IAD-Bab-10-Himpunan-Dan-Bilangan